Замена

Замена - распространённый приём для сведения большого и трудного уравнения к маленькому и простому.

Пример 1

((x1≡x2)∧(x3≡x4))∨( ¬((x1≡x2))∧( ¬(x3≡x4)))=0
((x3≡x4)∧(x5≡x6))∨( ¬((x3≡x4))∧( ¬(x5≡x6)))=0
((x5≡x6)∧(x7≡x8))∨( ¬((x5≡x6))∧( ¬(x7≡x8)))=0
((x7≡x8)∧(x9≡x10))∨( ¬((x7≡x8))∧( ¬(x9≡x10)))=0

Четыре уравнения! Да еще и с новой логической операцией эквиваленцией!

Не пугаемся и пытаемся внимательно приглядеться. Вуаля. Заметили, что каждое уравнение имеет всего две переменных и притом совершенно идентичные скобки. Произведем замену:

t1=(x1≡x2)
t2=(x3≡x4)
t3=(x5≡x6)
t4=(x7≡x8)
t5=(x9≡x10)

Система примет вид:

(t1∧t2)∨( ¬(t1)∧ ¬(t2))=0
(t2∧t3)∨( ¬(t2)∧ ¬(t3))=0
(t3∧t4)∨( ¬(t3)∧ ¬(t4))=0
(t4∧t5)∨( ¬(t4)∧ ¬(t5))=0

Вариантов решений для t всего два: 1010 или 0101 (Значения записаны для одной строки по два на каждую скобку). Решений, когда функция дизъюнкции обращается в 0 одно, поэтому в каждой скобке должен появиться 0.

Возвращаем замену:

t1=2^1
t1+t2=2^2
t1+t2+t3=2^3
t1+t2+t3+t4=2^4
t1+t2+t3+t4+t5=2^5

Так как эквиваленция обращается в ноль двумя способами, то умножив 2 на 2^5 получим ответ.

Ответ: 64

Пример 2

(x1∧x2)∨( ¬(x1)∧ ¬(x2))∨(x3∧x4)∨( ¬(x3)∧ ¬(x4))=1
(x3∧x4)∨( ¬(x3)∧ ¬(x4))∨(x5∧x6)∨( ¬(x5)∧ ¬(x6))=1
(x5∧x6)∨( ¬(x5)∧ ¬(x6))∨(x7?x8)∨( ¬(x7)∧ ¬(x8))=1
(x7∧x8)∨( ¬(x7)∧ ¬(x8))∨(x9∧x10)∨( ¬(x9)∧ ¬(x10))=1

Упростим систему, воспользовавшись формулой:

(A∧B)∨(¬A∧¬B) равносильно (A≡B)


(x1≡x2)∨( ¬(x3≡x4))=1
(x3≡x4)∨( ¬(x5≡x6))=1
(x5≡x6)∨( ¬(x7≡x8))=1
(x7≡x8)∨( ¬(x9≡x10))=1

Произведём замену аналогичную предыдущему примеру:

t1=(x1≡x2)
t2=(x3≡x4)
t3=(x5≡x6)
t4=(x7≡x8)
t5=(x9≡x10)

t1∨ ¬(t2)=1
t2∨ ¬(t3)=1
t3∨ ¬(t4)=1
t4∨ ¬(t5)=1

t2→t1=1
t3→t2=1
t4→t3=1
t5→t4=1

Теперь систему можно привести к одному уравнению, уже хорошо знакомому нам:


(t2→t1)∧(t3→t2)∧(t4→t3)∧(t5→t4)=1

Для t имеем 6 решений. Вернём замену:


t1=2^1
t1+t2=2^2
t1+t2+t3=2^3
t1+t2+t3+t4=2^4
t1+t2+t3+t4+t5=2^5

Так как для t 6 наборов решений, то общее количество решений для системы получим, умножив 6 на 2^5.

Ответ: 192

Пример 3

( ¬(x1≡x2))∨( ¬(x3≡x4))=1
( ¬(x3≡x4))∨( ¬(x5≡x6))=1
( ¬(x5≡x6))∨( ¬(x7≡x8))=1
( ¬(x7≡x8))∨( ¬(x9≡x10))=1

Сделаем замену:


t1=(x1≡x2)
t2=(x3≡x4)
t3=(x5≡x6)
t4=(x7≡x8)
t5=(x9≡x10)


¬(t1)∨t2=1
¬(t2)∨t3=1
¬(t3)∨t4=1
¬(t4)∨t5=1

t1→t2=1
t2→t3=1
t3→t4=1
t4→t5=1

Система имеет 6 решений для t. Ниже представлена таблица решений и схема выборки корней и пояснение.

Возьмём первое значение для t1. При возвращении замены заметим, что имеется два варианта решения 10 или 01.

Подключим вторую переменную. Для нее тоже 2 варианта решения. А поэтому общее количество уже будет 4 решения.

Далее нетрудно догадаться, что решения будут равняться степеням двойки (степень равна количеству переменных). Ответ получим умножим 6 (общее количество решений) на 2^5 (решения для одного набора).

Ответ: 192

© Денис Филипцев
Яндекс.Метрика
Besucherzahler mail order brides
счетчик посещений
счётчик тиц и pr